تحلیل حساسیت¹

تحلیل حساسیت بررسی اثر عدم قطعیت ورودی‌ها بر خروجی‌های یک مدل ریاضی است. این تحلیل می‌تواند:

• پایداری نتایج مدل را ارزیابی کند.
• رابطه ورودی‑خروجی را روشن سازد.
• ورودی‌های حساس که باعث تغییر زیاد خروجی می‌شوند را شناسایی کرده و عدم قطعیت خروجی را کاهش دهد.
• خطاهای مدل را با یافتن روابط غیرمنتظره بین ورودی و خروجی نشان دهد.
• تبادل اطلاعات بین مدل‌سازان و تصمیم‌گیران را با ارائه نکات درباره نقاط حساس بهبود بخشد.
• پایداری کالیبراسیون مدل را با تمرکز بر پارامترهای حساس تقویت کند.

تحلیل حساسیت در شرایط زیر می‌تواند راهگشا باشد:

• پردازش سنگین و یا زمانبر باشند
• ورودی‌ها دارای همبستگی باشند
• پاسخ مدل غیر خطی و یا تصادفی باشد: در این حالت می‌توان از سنجه‌های مبتنی بر واریانس استفاده نمود
• مدل دارای خروجی‌های متعدد باشد
• مدل داده محور باشد (مبتنی بر تابع نباشد)

روش‌های تحلیل حساسیت:

• تحلیل بصری: در این روش داده‌ها روی نمودار ترسیم شده و میزان تاثیر ورودی بر خروجی به صورت بصری شناسایی و مطالعه می‌شود.
• روش "هر بار یک فاکتور"²: در این روش به ازای هر فاکتور ورودی، بقیه ورودی‌ها ثابت نگه داشته شده و خروجی متناظر با ورودی متغیر محاسبه می‌شود و سپس رابطه بین آن دو مورد بررسی و مطالعه قرار می‌گیرد.
• روش موریس³: این روش برای مشاهده و بررسی سیستم‌های با پارامترهای زیاد مناسب است.
• روش‌های مبتنی بر مشتق: در این روش مشتق جزئی خروجی \(Y\) به ورودی \(X\) محاسبه شده و مقدار به دست آمده حساسیت هر پارامتر را در نقطه مورد نظر نشان می‌دهد. این روش مانند روش "هر بار یک فاکتور"، متغیرهای ورودی را یکی یکی لحاظ می‌کند.
• تحلیل رگرسیون: در این روش یک رگرسیون خطی بر پاسخ مدل برازش می‌شود و ضرایب رگرسیون به عنوان سنجه‌های حساسیت مورد استفاده قرار می‌گیرند. مهم است که تابع برازش خطی باشد در غیر این صورت تفسیر ضرایب حساسیت مشکل می‌شود.
• روش‌های مبتنی بر واریانس: در این روش عدم قطعیت ورودی‌ها و خروجی‌ها به صورت متغیرهای تصادفی اندازه‌گیری می‌شوند. سپس تاثیر تغییرات هر ورودی به خروجی بر اساس واریانس خروجی مربوطه بر اساس رابطه سوبول⁴ به صورت زیر محاسبه می‌شود که در آن \(E[Y|X_i]\) میانگین \(Y\) به ازای \(X_i\) و \(V(Y)\) واریانس \(Y\) است.

\[S_i=\frac{V(E[Y|X_i])}{V(Y)}\]

• تحلیل وریوگرام صفحات پاسخ⁵: نقطه ضعف روش‌های قبلی این است که تاثیر متغیرها را در فضای چند بعدی لحاظ نمی‌کند. این روش با استفاده از وریوگرام‌های جهت‌دار و کواریوگرام‌ها این نقطه ضعف را برطرف می‌کند. این روش با بار محاسباتی کمتر می‌تواند تخمین پایدارتر و از نظر آماری بهتری از حساسیت پارامترها ارائه دهد.
• تست بزرگی حساسیت فوریه⁶: در این روش از سری‌های فوریه برای مدل‌های با توابع چند متغیره استفاده می‌کند و به این ترتیب بار محاسباتی را برای تحلیل حساسیت کاهش می‌دهد.

به عنوان مثال تابع ساده زیر را در نظر بگیرید. همانطور که در شکل نمایش داده شده است بر اساس شاخص سوبول، در نقطه \(x=0\) حساسیت پارامتر \(a\) معادل 100% و حساسیت پارامتر \(b\) معادل صفر است.

\[f(x)=a+bx^2\]

به عنوان مثال دیگر تحلیل حساسیت تابع پیچیده‌تر ایشیگامی با رابطه زیر را می‌توان به صورت زیر توصیف کرد.

\[f(x) = \sin(x_1) + a \sin^2(x_2) + b x_3^4 \sin(x_1)\]

شاخص‌های سوبول برای این تابع را می‌توان به صورت زیر ترسیم نمود.

برای تصویرسازی بهتر می‌توان نقشه دمایی این تحلیل حساسیت را به صورت زیر ترسیم نمود.

تحلیل حساسیت با استفاده از برنامه‌ریزی خطی

در روش سیمپلکس می‌توان حساسیت پارامترها را می‌توان از دو جنبه زیر بررسی نمود:

• مقادیر سمت راست قیود: که نشان می‌دهد در چه بازه‌ای از تغییرات سمت راست قیود، هر یک از متغیرهای ورودی بر روی تابع هدف تاثیر می‌گذارند.
• ضرایب تابع هدف: که نشان می‌دهد در چه بازه‌ای از ضرایب تابع هدف، نقطه بهینه بدون تغییر باقی می‌ماند.

مثال تحلیل حساسیت برنامه‌ریزی خطی

به طور مثال فرض کنید که یک شرکت دو محصول \(A\) و \(B\) را با استفاده از دو ماشین \(M_1\) و \(M_2\) تولید می‌کند که مدل ریاضی آن به صورت زیر است.

\[\begin{align} Maximize\ Z & = 30x_1 + 20x_2 \\ \\ Subject\ to \\ \\ C_1: 2x_1 + x_2 & \le 8 \\ C_2: x_1 + 3x_2 & \le 8 \\ x_1,x_2 & \ge 0 \end{align}\]

که نمودار آن به شکل زیر قابل ترسیم است

برای آنالیز حساسیت پارامترهای تنظیمی سمت راست قیود \(D_1, D_2\) و ضرایب تابع هدف \(d_1, d_2\) راه به مدل اضافه می‌کنیم.

\[\begin{align} Maximize\ Z & = (30 + d_1)x_1 + (20 + d_2)x_2 \\ \\ Subject\ to \\ \\ C_1: 2x_1 + x_2 & \le 8 + D_1 \\ C_2: x_1 + 3x_2 & \le 8 + D_2 \\ x_1,x_2 & \ge 0 \end{align}\]

همانطور که در شکل مشاهده می‌شود با تغییر هر یک از مقادیر سمت راست قیود به ازای یک واحد، نقطه بهینه تغییر می‌کند. تحلیل حساسیت نشان می‌دهد که مقدار تغییر \(D_1\) و \(D_2\) به ترتیب محدود به \((-5.33, 8)\) و \((-4, 16)\) می‌باشد و هر واحد تغییر آنها به ترتیب 14 و 2 واحد مقدار تابع هدف را تغییر می‌دهد که به آن مبلغ سایه⁷ می‌گویند.

همچنین تحلیل حساسیت ضرایب تابع هدف \(d_1\) و \(d_2\) نشان می‌دهد که این ضرایب می‌توانند به ترتیب در بازه \((-23.3, 20)\) و \((-5, 70)\) تغییر کنند در حالی که نقطه بهینه ثابت باقی بماند.

در واقع با تغییر ضرایب تابع هدف، شیب آن تغییر می‌کند و در صورت عبور از بازه‌های مذکور نقطه بهینه فعلی اعتبار خود را از دست می‌دهد و جواب بهینه جدید، نقطه‌ای دیگر از فضای محدب خواهد بود که تابع هدف جدید با آن مماس است.

---

1. Sensitivity Analysis ↩

2. One-factor-at-A-Time (OAT) Method ↩

3. Morris ↩

4. Sobol ↩

5. Variogram Analysis of Response Surfaces (VARS) ↩

6. Fouries Amplitude Sensitivity Test (FAST) ↩

7. Shadow Price ↩