تحلیل پوششی داده¹

DEA یک روش ناپارامتری مبتنی بر برنامه‌ریزی خطی است که برای ارزیابی کارایی نسبی واحدهای تصمیم‌گیرنده² با استفاده از داده‌های ورودی و خروجی واقعی به کار می‌رود. DEA، بدون فرض شکل تابع تولید، مرز کارایی را بر اساس عملکرد بهترین واحدها ترسیم کرده و سایر واحدها را نسبت به آن می‌سنجد. این روش امکان شناسایی واحدهای کارا، اندازه‌گیری میزان ناکارایی و ارائه الگوهای قابل دستیابی برای واحدهای ناکارا را فراهم می‌کند. DEA با قابلیت الگویابی، به این صورت که الگوها از میان واحدهای واقعی استخراج می‌شوند و با مجموعه امکان تولید سازگارند، از سایر روش‌های ارزیابی عملکرد متمایز است. انعطاف‌پذیری در برخورد با چندین ورودی و خروجی و عدم وابستگی به فرضیات آماری، DEA را در حوزه‌های مختلفی از جمله بانکداری، آموزش، بهداشت و صنایع تولیدی به روشی پرکاربرد تبدیل کرده است.

اثربخشی/راندمان/بازدهی/کارایی³

مفاهیم فوق را می‌توان با کمی تقریب معادل یکدیگر دانست. در ادبیات مدیریت، رابطه کلی برای محاسبه کارایی، نسبت خروجی به ورودی است که مولفه‌های مختلف دارد، از جمله فناوری⁴، هزینه⁵ و تخصیص⁶.

فرض کنید می‌خواهیم دو ماشین A و B را بر اساس داده‌های جدول زیر با یکدیگر مقایسه کنیم.

ماشین	مصرف سوخت (لیتر در هر ۱۰۰ کیلومتر)
A	20
B	25

در نگاه اولیه، ماشین A ممکن است بازدهی بیشتری داشته باشد، اما اگر به جدول بعدی نگاه کنیم، می‌بینیم که به ازای هر واحد سوخت، ماشین B کار بیشتری انجام می‌دهد (مثلا تناژ مصالح حمل شده به ازای هر ۱۰۰ کیلومتر). بنابراین می‌گوییم بازدهی ماشین B بیشتر از ماشین A است.

ماشین	مصرف سوخت	مقدار کار انجام شده (تن)	بازدهی فناوری
A	20	60	3
B	25	100	4

حال اگر هزینه‌های نگهداری⁷ و عملیاتی⁸ هر ماشین (به ازای هر ۱۰۰ کیلومتر) را به داده‌های مسئله اضافه کنیم، بازدهی هزینه به دست می‌آید.

ماشین	مصرف سوخت	مقدار کار انجام شده (تن)	بازدهی فناوری	هزینه	بازدهی هزینه
A	20	60	3	300	0.200
B	25	100	4	800	0.125

نوع دیگر بازدهی، بازدهی تخصیص است. برای مثال، ممکن است ماشین A و B در کارهای مختلف بازدهی متفاوتی داشته باشند. مثلا، لودر چرخ لاستیکی در زمین سخت بازدهی بیشتری نسبت به لودر چرخ زنجیری دارد. لذا در زمین سخت، لودر چرخ لاستیکی به فعالیت مربوطه تخصیص داده می‌شود. با این توضیح، اگر جدول فوق را برای زمین سخت به صورت زیر بازنویسی کنیم، ممکن است نتایج نهایی متفاوت باشد.

ماشین	مصرف سوخت	مقدار کار انجام شده (تن)	بازدهی فناوری	هزینه	بازدهی هزینه	ضریب بازدهی زمین سخت	بازدهی تخصیص
A	20	60	3	300	0.200	1.5	4.5
B	25	120	4	800	0.125	0.75	3

کاربرد DEA در یافتن حاشیه کارآمد⁹

DEA با حل یک برنامه‌ریزی خطی برای هر واحد، حاشیهٔ کارآمد را ایجاد می‌کند؛ این حاشیه بالاترین نسبت خروجی به ورودی را برای ترکیب‌های ممکن نشان می‌دهد. واحدهایی که بر روی این حاشیه قرار دارند، نقطهٔ بهینه یا کارایی کامل را نشان می‌دهند. سایر واحدها با محاسبهٔ فاصلهٔ خود تا این حاشیه، میزان ناکارآمدی و پتانسیل بهبود را می‌یابند. این اطلاعات به مدیران امکان می‌دهد تا ورودی‌ها را به حداقل برسانند یا خروجی‌ها را به حداکثر برسانند و در نتیجه بهترین بهره‌وری را در سازمان یا فرآیند خود دستیابی کنند.

DEA یک روش تحلیل کارایی است که برای ارزیابی نسبی واحدهای تصمیم‌گیری به کار می‌رود و تحت محدودیت‌های خاصی عمل می‌کند.

محدودیت‌های DEA

• شفافیت داده‌ها: داده‌های ورودی و خروجی باید بسیار شفاف باشند. استفاده از متغیرهای ساختگی یا دسته‌ای ارزیابی را مغرضانه می‌کند.
• همگنی DMUها: واحدهای تصمیم‌گیری ارزیابی‌شده باید همگن باشند. مقایسه DMUهایی با ماهیت یا مقیاس متفاوت توصیه نمی‌شود.
• کارایی نسبی: نتایج DEA نشان‌دهنده کارایی نسبی بین DMUها است، نه کارایی مطلق. بنابراین، استفاده از این مقادیر به عنوان کارایی مطلق مناسب نیست.
• حساسیت به نویز داده‌ها: DEA به نویز داده‌ها بسیار حساس است. داده‌های مورد ارزیابی باید تا حد امکان دقیق و بدون خطا باشند.

بازگشت به مقیاس

در تولید (اقتصادی)، بازدهی به مقیاس به این موضوع می‌پردازد که در بلندمدت، با افزایش مقیاس تولید، بازده تولید چگونه تغییر می‌کند؛ در شرایطی که تمام عوامل تولید متغیر هستند. این مفهوم از تابع تولید یک شرکت نشأت می‌گیرد و رابطه بین نرخ افزایش ستاده (تولید) و افزایش متناظر در نهاده‌ها (عوامل تولید) را توضیح می‌دهد. در بلندمدت، تمام نهاده‌های تولید قابل تغییر بوده و در واکنش به افزایش معین در مقیاس تولید، دستخوش تغییر می‌شوند.

انواع بازدهی به مقیاس

• بازدهی به مقیاس ثابت¹¹ مقدار افزایش خروجی هنگام افزایش نهاده، متناسب با خود نهاده است؛ این وضعیت یک حالت بهینه برای تولید شرکت است.
• بازدهی به مقیاس متغیر¹⁰
  • بازدهی به مقیاس نزولی¹² مقدار افزایش خروجی هنگام افزایش نهاده، کمتر از مقدار نهاده است؛ این وضعیت نشان می‌دهد شرکت در مقیاس تولید بیش از حد بزرگ قرار دارد که افزایش بیشتر نهاده برای آن توصیه نمی‌شود.
  • بازدهی به مقیاس صعودی¹³ مقدار افزایش خروجی هنگام افزایش نهاده، بیشتر از مقدار نهاده است؛ این وضعیت نشان می‌دهد شرکت در مقیاس تولید کوچکی قرار دارد که افزایش بیشتر نهاده برای آن توصیه می‌شود.

روابط بازگشت به مقیاس

روابط انواع بازگشت به مقیاس بصورت زیر است:

بازگشت به مقیاس	رابطه‌
DRS	\(f(\lambda x)\le \lambda f(x)\)
CRS	\(f(\lambda x)=\lambda f(x)\)
IRS	\(f(\lambda x)\ge \lambda f(x)\)

مدل‌های DEA

• مدل‌های پایه‌ای

  • مدل CCR: نخستین الگو بر اساس بازدهی ثابت نسبت به مقیاس
  • مدل BCC: توسعه یافته بر پایه بازدهی متغیر نسبت به مقیاس
  • مدل AP: گسترش روش‌های کلاسیک توسط اندرسن و پیترسون¹⁴

• مدل‌های پیشرفته

  • مدل جمعی¹⁵: سنجش کارایی با در نظر گرفتن انحراف‌ها
  • مدل سنجش مازاد¹⁶: تمرکز بر مازاد ورودی‌ها و کمبود خروجی‌ها
  • مدل پنجره‌ای¹⁷: تحلیل تغییرات کارایی در طول زمان

• مدل‌های توسعه‌یافته

  • مدل شبکه‌ای¹⁸: ارزیابی کارایی در سازمان‌هایی با چندین فرایند درونی
  • مدل تصادفی¹⁹: لحاظ کردن عدم قطعیت و خطای داده‌ها
  • مدل‌های چندمرحله‌ای: تحلیل کارایی در زنجیره‌های متوالی از فرایندها

نمادگذاری

• \(K\): مجموعه واحدهای تصمیم‌گیرنده
• \(r\): واحد درحال ارزیابی
• \(I\): مجموعه تمام ورودی‌ها
• \(J\): مجموعه تمام خروجی‌ها

\[\begin{aligned} k, r &\in K \\ i &\in I \\ j &\in J \end{aligned}\]

متغیرهای تصمیم‌گیری

• \(\theta_{r}\): متغیر دوگان برای واحد \(r\)
• \(\lambda_{k}\): متغیر دوگان برای واحد \(k\)
• \(v_{ki}\): وزن ورودی \(i\) برای واحد \(k\)
• \(u_{kj}\): وزن خروجی \(j\) برای واحد \(k\)

پارامترها

• \(X_{ri}, X_{ki}\): داده‌های ورودی \(i\) برای DMUهای \(r\) و \(k\)
• \(Y_{ri}, Y_{ki}\): داده‌های خروجی \(j\) برای DMUهای \(r\) و \(k\)

مدل CCR

بر پایهٔ مدل فرل برای ارزیابی کارایی، چارنز، کوپر و رودز (CCR) در سال ۱۹۷۸ مدل DEA با بازدهی ثابت نسبت به مقیاس (CRS) را معرفی کردند که به‌نام مدل CCR نیز شناخته می‌شود. معادلهٔ زیر تابع هدف بهینه‌سازی این مدل را نشان می‌دهد:

\[\begin{align} Maximize\ E_r^{CRS} &=\frac{\sum_{j=1}^{J} u_{rj}Y_{rj}}{\sum_{i=1}^{I} v_{ri}X_{ri}}\\ \\ Subject\ to &\\ \\ \frac{\sum_{j=1}^{J} u_{rj}Y_{rj}}{\sum_{i=1}^{I} v_{ri}X_{ri}} &\le 1,\forall k\\ u_{rj} &\ge 0,\forall j \\ v_{ri} &\ge 0,\forall i \end{align}\]

که شامل \(I+J\) متغیر تصمیم‌گیری و \(1+K+I+J\) قید می‌باشد.

با توجه به اینکه تابع هدف مدل فوق غیرخطی می‌باشد، برای حل آن توسط روش‌های برنامه‌ریزی خطی، می‌توان از ترفند "ورودی واحد" برای تبدیل آن به مدل خطی استفاده نمود. برای این منظور کافیست مخرج تابع هدف را بعنوان قید برابر 1 قرار داد و آن را بصورت زیر بازنویسی نمود:

\[\begin{align} Maximize\ E_r^{CRS} &=\sum_{j=1}^{J} u_{rj}Y_{rj}\\ \\ Subject\ to &\\ \\ \sum_{j=1}^{J} u_{rj}Y_{rj} - \sum_{i=1}^{I} v_{ri}X_{ri} &\le 0,\forall k\\ \sum_{i=1}^{I} v_{ri}X_{ri} &= 1 \\ u_{rj} &\ge 0,\forall j \\ v_{ri} &\ge 0,\forall i \\ \end{align}\]

در نهایت مدل دوگان CRS بصورت زیر نوشته می‌شود:

\[\begin{align} Minimize\ E_r^{CRS} &= \theta_r \\ \\ Subject\ to & \\ \\ \sum_{k=1}^{K} \lambda_kX_{ki} &\le \theta_rX_{ri},\forall i\\ \sum_{k=1}^{K} \lambda_kY_{kj} &\ge Y_{rj},\forall j\\ \lambda_k &\ge 0, \forall k \end{align}\]

مدل BCC

با کمی تغییر و استفاده از مدل CRS، مدل BCC مبتنی بر VRS بصورت زیر نوشته می‌شود که در آن از فرض ثابت بودن مقیاس کارایی صرفنظر شده است:

\[\begin{align} Maximize\ E_r^{VRS} &=\frac{\sum_{j=1}^{J} u_{rj}Y_{rj} - u_{0r}}{\sum_{i=1}^{I} v_{ri}X_{ri}}\\ \\ Subject\ to &\\ \\ \frac{\sum_{j=1}^{J} u_{rj}Y_{rj} - u_{0r}}{\sum_{i=1}^{I} v_{ri}X_{ri}} &\le 1,\forall k\\ u_{rj} &\ge 0,\forall j \\ v_{ri} &\ge 0,\forall i \\ \end{align}\]

که در آن \(u_{0r}\) متغیر آزاد است.

و مدل دوگان BCC بصورت زیر نوشته می‌شود:

\[\begin{align} Minimize\ E_r^{VRS} &= \theta_r \\ \\ Subject\ to & \\ \\ \sum_{k=1}^{K} \lambda_kX_{ki} &\le \theta_rX_{ri},\forall i\\ \sum_{k=1}^{K} \lambda_kY_{kj} &\ge Y_{rj},\forall j\\ \sum_{k=1}^{K} \lambda_k &= 1\\ \lambda_k &\ge 0, \forall k \end{align}\]

ارزیابی کارایی

DEA دو رویکرد اصلی دارد:

• مدل ورودی‌محور²⁰ به حداکثر کارایی با کاهش متناسب مقادیر ورودی‌ها بدون تغییر خروجی‌ها می‌پردازد.
• مدل خروجی‌محور²¹ به حداکثر کارایی با گسترش متناسب مقادیر خروجی‌ها بدون تغییر ورودی‌ها می‌کوشد.

مدل ورودی محور

همانطور که نشان داده شده است، نقطه \(r\) وضعیت فعلی ورودی و نقطه \(r'\) وضعیت بهینه ورودی است. بر این اساس، ایده مدل ورودگرا کاهش متناسب مقدارهای ورودی بدون تغییر دادن مقدارهای خروجی است.

مدل خروجی محور

همانطور که نشان داده شده است، نقطه \(r\) وضعیت فعلی خروجی و نقطه \(r'\) وضعیت بهینه خروجی است. بر این اساس، ایده مدل خروجی‌گرا گسترش متناسب مقدارهای خروجی بدون تغییر دادن مقدارهای ورودی است.

مولفه‌های بازدهی کل

بازدهی کل²² شامل دو مولفه بازدهی مدیریتی²³ و بازدهی مقیاس²⁴ است.

• بازدهی کل جواب بهینه \(E_{r}^{CRS}\) است
• بازدهی فنی (مدیریتی) جواب بهینه \(E_{r}^{VRS}\) است
• بازدهی مقیاس از رابطه زیر به دست می‌آید

\[SE = \frac{OE}{TE}\]

مثال بازدهی تولید

بخش 1 از کارخانه‌ای، تولیدی برابر با 60 واحد در روز دارد. ورودی‌ها که می‌تواند شامل مواد اولیه، انرژی، نفر بر ساعت باشد دارای هزینه هستند. هزینه مواد اولیه برای هر واحد تولیدی بالغ بر 10 هزار تومان برآورد شده است. توجه داشته باشید که تولید هر محصول در این واحد به 2 نفر-ساعت نیروی کار نیز احتیاج دارد. بخش 2 از همین کارخانه نیز با تولید 80 واحد، هزینه ورودی برابر با 8 هزار تومان دارد که شامل مواد اولیه بوده و از لحاظ زمانی نیز 3 نفر-ساعت را به خود اختصاص می‌دهد. بخش 3 هم 40 واحد تولید روزانه دارد که هزینه ورودی‌های آن 12 هزار تومان برای مواد و 1.5 نفر-ساعت نیروی کار است.

بخش	تولید (واحد/روز)	هزینه مواد اولیه (هزار تومان)	نفر‑ساعت
1	60	10	2
2	80	8	3
3	40	12	1.5

مدل‌های CCR را بصورت زیر می‌توان نوشت:

مدل بخش 1:

\[\begin{align} Maximize\ E_1 &= 60u_1\\ \\ Subject\ to \\ \\ 60u_1 - 10v_1 - 2v_2 &\le 0 \\ 80u_1 - 8v_1 - 3v_2 &\le 0 \\ 40u_1 - 12v_1 - 1.5v_2 &\le 0 \\ 10v_1 + 2v_2 &= 1 \\ u_1,v_1,v_2 &\ge 0 \end{align}\]

مدل بخش 2:

\[\begin{align} Maximize\ E_2 &= 80u_1 \\ \\ Subject\ to \\ \\ 60u_1 - 10v_1 - 2v_2 &\le 0 \\ 80u_1 - 8v_1 - 3v_2 &\le 0 \\ 40u_1 - 12v_1 - 1.5v_2 &\le 0 \\ 8v_1 + 3v_2 &= 1 \\ u_1,v_1,v_2 &\ge 0 \end{align}\]

مدل بخش 3:

\[\begin{align} Maximize\ E_3 &= 40u_1 \\ \\ Subject\ to \\ \\ 60u_1 - 10v_1 - 2v_2 &\le 0 \\ 80u_1 - 8v_1 - 3v_2 &\le 0 \\ 40u_1 - 12v_1 - 1.5v_2 &\le 0 \\ 12v_1 + 1.5v_2 &= 1 \\ u_1,v_1,v_2 &\ge 0 \end{align}\]

و یا می‌توان مدل‌های دوگان BCC را بصورت زیر نوشت:

مدل بخش 1:

\[\begin{align} Minimize\ E_1 & = \theta_1 \\ \\ Subject\ to \\ \\ 60\lambda_1 + 80\lambda_2 + 40\lambda_3 & \ge 60 \\ 10\lambda_1 + 8\lambda_2 + 12\lambda_3 & \le 10\theta_1 \\ 2\lambda_1 + 3\lambda_2 + 1.5\lambda_3 & \le 2\theta_1 \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 & = 1 \end{align}\]

مدل بخش 2:

\[\begin{align} Minimize\ E_2 & = \theta_2 \\ \\ Subject\ to \\ \\ 60\lambda_1 + 80\lambda_2 + 40\lambda_3 & \ge 80 \\ 10\lambda_1 + 8\lambda_2 + 12\lambda_3 & \le 8\theta_2 \\ 2\lambda_1 + 3\lambda_2 + 1.5\lambda_3 & \le 3\theta_2 \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 & = 1 \end{align}\]

مدل بخش 3:

\[\begin{align} Minimize\ E_3 & = \theta_3 \\ \\ Subject\ to \\ \\ 60\lambda_1 + 80\lambda_2 + 40\lambda_3 & \ge 40 \\ 10\lambda_1 + 8\lambda_2 + 12\lambda_3 & \le 12\theta_3 \\ 2\lambda_1 + 3\lambda_2 + 1.5\lambda_3 & \le 1.5\theta_3 \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 & = 1 \end{align}\]

مثال بازدهی بیمارستان

مدیران بیمارستان‌های عمومی، دانشگاهی، محلی و ایالتی در حال برگزاری جلساتی برای بررسی راه‌هایی هستند که به یکدیگر کمک کنند تا عملکرد هر یک از بیمارستان‌هایشان را بهبود بخشند. منابع سالانه مصرف‌شده و خدمات ارائه‌شده توسط این چهار بیمارستان به شرح زیر است.

خدمات سالانه:

شاخص خروجی	عمومی	دانشگاهی	محلی	ایالتی
بیمار-روز بستری (هزار)	48.14	34.62	36.72	33.16
بیمار-روز سرپایی (هزار)	43.10	27.11	45.98	56.46
پرستاران آموزش‌دیده	253	148	175	160
کارورزان آموزش‌دیده	41	27	23	84

منابع مصرفی سالانه:

شاخص ورودی	عمومی	دانشگاهی	محلی	ایالتی
کارکنان تمام‌وقت	285.20	162.30	275.70	210.40
هزینه تأمین و تدارکات (هزار دلار)	123.80	128.70	348.50	154.10
تخت-روز موجود (هزار)	106.72	64.21	104.10	104.04

متغیرهای مدل را می‌توان بصورت زیر تعریف نمود:

• \(\lambda_g\): ضریب وزنی ورودی و خروجی بیمارستان عمومی
• \(\lambda_u\): ضریب وزنی ورودی و خروجی بیمارستان دانشگاهی
• \(\lambda_c\): ضریب وزنی ورودی و خروجی بیمارستان محلی
• \(\lambda_s\): ضریب وزنی ورودی و خروجی بیمارستان ایالتی

و مدل BCC (دوگان) برای بیمارستان محلی بصورت زیر نوشته می‌شود:

\[\begin{align} Minimize\ E_c & = \theta_c \\ \\ Subject\ to \\ \\ 48.14\lambda_g + 34.62\lambda_u + 36.72\lambda_c + 33.16\lambda_s & \ge 36.72 \\ 43.10\lambda_g + 27.11\lambda_u + 45.98\lambda_c + 56.46\lambda_s & \ge 45.98 \\ 253\lambda_g + 148\lambda_u + 175\lambda_c + 160\lambda_s & \ge 175 \\ 41\lambda_g + 27\lambda_u + 23\lambda_c + 48\lambda_s & \ge 23 \\ 285.20\lambda_g + 162.30\lambda_u + 275.70\lambda_c + 210.40\lambda_s & \le 275.70\theta_c \\ 123.80\lambda_g + 128.70\lambda_u + 348.50\lambda_c + 154.10\lambda_s & \le 348.50\theta_c \\ 106.72\lambda_g + 64.21\lambda_u + 104.10\lambda_c + 104.04\lambda_s & \le 104.10\theta_c \\ \lambda_g + \lambda_u + \lambda_c + \lambda_s & = 1 \\ \theta_c, \lambda_g, \lambda_u, \lambda_c, \lambda_s & \ge 0 \end{align}\]

پاسخ حل مدل برای هر گزینه بصورت زیر است:

عمومی:

دانشگاه:

محلی:

ایالتی:

تمرین حمل و نقل هوایی

در این مثال، ۱۳ خط هوایی برای برآورد بازدهی با سه ورودی و دو خروجی وجود دارند. داده‌های ورودی شامل هواپیما، سوخت و کارمند و داده‌های خروجی شامل مسافر و بار هستند.

گزینه	تعداد هواپیما	سوخت (گالن)	تعداد کارکنان	مسافر (مسافر-مایل)	بار (تن-مایل)
A	109	392	8259	23756	870
B	115	381	9628	24183	1359
C	767	2673	70923	163483	12449
D	90	282	9683	10370	509
E	461	1608	40630	99047	3726
F	628	2074	47420	128635	9214
G	81	75	7115	11962	536
H	153	458	10177	32436	1462
I	455	1722	29124	83862	6337
J	103	400	8987	14618	785
K	547	1217	34680	99636	6597
L	560	2532	51536	135480	10928
M	423	1303	32683	74106	4258

---

1. Data Envelopment Analysis (DEA) ↩

2. Decision Making Units (DMU) ↩

3. Efficiency ↩

4. Technical/Scale Efficiency ↩

5. Price Efficiency ↩

6. Allocative Efficiency ↩

7. Maintenance ↩

8. Operative ↩

9. Efficient Frontier ↩

10. Variable Returns to Scale (VRS) ↩

11. Constant Returns to Scale (CRS) ↩

12. Decreasing Returns to Scale (DRS) ↩

13. Increasing Returns to Scale (IRS) ↩

14. Andersen–Peterson model ↩

15. Additive Model ↩

16. Slacks-Based Measure ↩

17. Window Analysis ↩

18. Network DEA ↩

19. Stochastic DEA ↩

20. Input Oriented ↩

21. Output Oriented ↩

22. Overall Efficiency ↩

23. Technical Efficiency ↩

24. Scale Efficiency ↩